Вязкостный и молекулярный потоки через длинные круглые трубопроводы. Для пропускной способности круглого трубопровода Кнудсен в 1909 г. дал следующее выражение (см. где D — диаметр, L — длина трубопровода, Р — среднее давление в трубопроводе, -/) — коэффициент вязкости газа, к — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура и m — масса молекулы. Уравнение Кнудсена справедливо, если: 1) поток в любой части трубопровода не турбулентный (смотри предыдущий пункт) и 2) разность давлений на концах трубопровода не настолько велика, чтобы механизм потока мог меняться вдоль трубопровода (либо вязкостный, либо молекулярный) .
Если среднее давление очень низкое, то первым членом можно пренебречь, второй сомножитель во втором члене становится равным единице и (1.45) сводится к формуле для молекулярной пропускной способности
С другой стороны, при очень высоких давлениях второй сомножитель второго члена становится постоянным, не зависящим от давления, так что вторым членом можно пренебречь в сравнении с первым, и уравнение (1.45) дает пропускную способность для вязкостного потока
Формулы (1.46) и (1.47) могут быть получены из кинетической теории газов. Формула (1.45) является полуэмпирической комбинацией формул (1.46) и (1.47), которую предложил Кнудсен для описания своих экспериментальных результатов. Эта формула справедлива во всей области вязкостного и молекулярного потока с точностью до нескольких процентов.
Для того чтобы использовать формулу Кнудсена, подставим в нее значения постоянных для воздуха при 20° С.
Леб [2], стр. 295 и след.)1):
Таблица 2
|
Область |
DP, микронам |
0,0152 DP | |
|
Молекулярная |
10 |
1,0 |
0,15 |
|
Переходная |
20 |
1,1 |
0,3 |
|
40 |
1,4 |
0,6 | |
|
60 |
1,7 |
0,9 | |
|
80 |
2,0 |
1,2 | |
|
100 |
2,3 |
1,5 | |
|
200 |
3,8 |
3,0 | |
|
400 |
6,9 |
6,1 | |
|
Вязкостная |
600 |
9,9 |
9,1 |
|
800 |
13 |
12 | |
|
1000 |
16 |
15 | |
|
2000 |
31 |
30 | |
|
4000 |
62 |
61 | |
|
10000 |
153 |
152 |
В формуле (1.48) члены сгруппированы в круглые скобки в соответствии с формулой (1.45). Формула (1.49) является простым преобразованием формулы (1.48). J представляет собой поправочный множитель к формуле молекулярной пропускной способности. Значения / как функции от D13 приведены в табл. 2. Заметим, что для DP<^15 макрон-см, беря J = 1, т. е. предполагая чисто молекулярный поток, совершаем ошибку не более 10%. Для очень больших значений DP, пренебрегая в выражении для J малыми членами, получим
и тогда (1.49) принимает вид
что соответствует чисто вязкостному потоку. Из приведенных в таблице значении очевидно, что при микрон - см можно
брать выражение для вязкостной пропускной способности с точностью до 10%. Отсюда как раз и получились границы молекулярного и вязкостного потока, сформулированные в конце предыдущего пункта.
Иногда говорят, что в переходной области некоторая часть потока молекулярная, а остальная часть вязкостная. Легко видеть, что это не вполне точно. Если бы это было так, то мы могли бы написать уравнения
Непосредственное использование табличных данных показывает, что они не удовлетворяют написанным уравнениям. Это объясняется тем, что сделанные предположения о механизмах молекулярного и вязкостного потоков в переходной области несправедливы, так как там важны как межмолекулярные столкновения, так и столкновения молекул со стенкой.
Вязкостный поток через трубопроводы.
образом:
где D — диаметр, L — длина трубопровода, Р — среднее давление пт; — коэффициент вязкости газа. Для воздуха при 20° С имеем
где D и L — в сантиметрах, а Р — в микронах ртутного столба. Эта формула справедлива с точностью до 10% для £>ZJ^500 микрон-см, т. е., например, для воздуха при условии, что средняя длина свободного пути Х<Д)/100.
Ограничение применимости этой формулы только для длинных трубопроводов означает, что сопротивление трубопровода настолько велико, что сопротивлением входной диафрагмы можно прене-
бречь. Если пропускная способность трубопровода сравнима с пропускной способностью входной диафрагмы, то пропускная способность последней может быть вычислена по формуле (1.28) и, комбинируя обратные величины пропускных способностей, как описано в и. И, получим
Используя значения вязкости различных газов, приведенные в приложении III, можно, умножая (1.51) на соответствующее отношение Сгаз. /СВ03д., получить значение пропускных способностей для других газов. А именно:
Таким образом, вязкостный поток для гелия и азота практически совпадает с потоком для воздуха, в то время как для водорода и водяных паров он значительно больше, а для неона значительно меньше. Кривые пропускной способности для воздуха при 20° С в зависимости от длины при различных диаметрах круглого трубопровода приведены на фиг. 4,а — в. Кривые приведены для двух различных значений г (отношение давлений на выходе и входе), а именно: 0,1 и 0,9, и для ряда значений среднего давления Р, выбранных так, что DP^500 микрон-см.
Так как пропускная способность при вязкостном потоке зависит от давления, то часто наиболее удобно выражать вязкостный поток через градиент давления. Так как (? = РУ'=С(Р1— Р2), то формула (1.51) дает
где Рх и Р2— давление на входе и выходе в микронах ртутного столба, L и D — длина и диаметр трубопровода в сантиметрах, а V'— объем протекающего газа в литрах в секунду в середине трубопровода, где давление равно Р. Обычно разница в объеме
протекающего газа в середине трубопровода и на обоих его концах может не учитываться, ввиду того что падение давления вдоль трубопровода, как правило, мало в сравнении с полным давлением.
О пропускной способности некруговых трубопроводов имеется относительно мало данных, однако для вязкостного течения воздуха при комнатной температуре через трубопровод с прямоугольным сечением предлагается следующая формула:
где а и Ъ — размеры сторон прямоугольного сечения в сантиметрах, L — длина трубопровода в сантиметрах, a Y берется из следующей таблицы:
Таким образом, при заданной площади поперечного сечения пропускная способность заметно убывает по мере удаления формы поперечного сечения от квадратной
Как и прежде, формулу (1.54) можно выразить через градиент давлений и объем ппотекаюптого газа.